Operaciones con vectores

SUMA DE VECTORES

Para sumar dos vectores libres (vector y vector) se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.

Método del paralelogramo

Método del paralelogramo.

Este método permite solamente sumar vectores de dos en dos. Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan en un punto, trazando rectas paralelas a cada uno de los vectores, en el extremo del otro y de igual longitud, formando así un paralelogramo (ver gráfico). El vector resultado de la suma es la diagonal de dicho paralelogramo que parte del origen común de ambos vectores.

Método del triángulo o método poligonal

Método del triángulo.

Consiste en disponer gráficamente un vector a continuación de otro, ordenadamente: el origen de cada uno de los vectores coincidirá con el extremo del siguiente. El vector resultante es aquel cuyo origen coincide con el del primer vector y termina en el extremo del último.

Método analítico para la suma y diferencia de vectores

Dados dos vectores libres,

<br /> \mathbf{a} = (a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k})<br />

<br /> \mathbf{b} = (b_x \mathbf{i} + b_y \mathbf{j} + b_z \mathbf{k})<br />

El resultado de su suma o de su diferencia se expresa en la forma

<br /> \mathbf{a} \pm \mathbf{b} =<br /> (a_x \mathbf{i} +a_y \mathbf{j} +a_z \mathbf{k}) \pm<br /> (b_x \mathbf{i} +b_y \mathbf{j} +b_z \mathbf{k})<br />

y ordenando las componentes,

<br /> \mathbf{a} \pm \mathbf{b} = (a_x \pm b_x) \mathbf{i} + (a_y \pm b_y) \mathbf{j} + (a_z \pm b_z)\mathbf{k}<br />

Con la notación matricial sería

<br /> \mathbf{a} \pm \mathbf{b}<br /> =<br /> \begin{bmatrix} a_x\\ a_y\\ a_z\\\end{bmatrix}<br /> \pm<br /> \begin{bmatrix} b_x\\ b_y\\ b_z\\\end{bmatrix}<br /> =<br /> \begin{bmatrix} a_x\pm b_x\\ a_y\pm b_y\\ a_z\pm bz\\\end{bmatrix}<br />

Conocidos los módulos de dos vectores dados, \mathbf{a} y \mathbf{b}, así como el ángulo \theta que forman entre sí, el módulo de \mathbf{a} \pm \mathbf{b} es:

<br /> |\mathbf{a} \pm \mathbf{b}| = \sqrt{a^2 + b^2 \pm 2ab \cos \theta} \le \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos \theta}<br />

La deducción de esta expresión puede consultarse en deducción del módulo de la suma.

PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR

Producto por un escalar.

El producto de un vector por un escalar es otro vector cuyo módulo es el producto del escalar por el módulo del vector, cuya dirección es igual a la del vector, y cuyo sentido es contrario a este si el escalar es negativo.

Partiendo de la representación gráfica del vector, sobre la misma línea de su dirección tomamos tantas veces el módulo de vector como indica el escalar.

Sean  p \, un escalar y  \mathbf{a}  un vector, el producto de  p \, por  \mathbf{a}  se representa  p \, \mathbf{a}  y se realiza multiplicando cada una de las componentes del vector por el escalar; esto es,

<br /> p \, \mathbf{a} = pa_x \mathbf{i} + pa_y \mathbf{j} + pa_z \mathbf{k}<br />

Con la notación matricial sería

<br /> p \, \mathbf{a} =<br /> p \, \begin{bmatrix} a_x\\ a_y\\ a_z\\\end{bmatrix} =<br /> \begin{bmatrix} p\,a_x\\ p\,a_y\\ p\,a_z\\\end{bmatrix}<br />

DESCOMPOSICIONES DE UN VECTOR

Dado un vector \mathbf{a} y una dirección de referencia dada por un vector unitario \mathbf{n} se puede descomponer el primer vector en una componente paralela y otra componente perpendicular a la dirección de referencia:

\mathbf{a} = \mathbf{a}_\| + \mathbf{a}_\bot = (\mathbf{n}\cdot\mathbf{a})\mathbf{n} +<br /> (\mathbf{n}\times \mathbf{a})\times \mathbf{n}

En física esta descomposición se usa en diferentes contextos como descomponer la aceleración en una componente paralela a la velocidad y otra componente perpendicular a la misma. También el tensión mecánica en un punto sobre un plano puede descomponerse en una componente normal al plano y otra paralela.

También dado un campo vectorial \mathbf{u}(\mathbf{x}) definido sobre un dominio de Lipschitz, acotado, simplemente conexo y de cuadrado integrable\mathbf{u}\in (L^2(\Omega))^3 admite la llamada descomposición de Helmholtz como suma de un campo conservativo y un campo solenoidal:

\mathbf{u} = \mathbf{u}_C + \mathbf{u}_S =<br /> (\boldsymbol{\nabla}\varphi) + (\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{A})

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